Rezolvarea Ecuației Matematice: Ghid Detaliat Și Simplificat

Bună, prieteni! Astăzi, ne vom aventura într-o problemă de matematică care poate părea puțin intimidantă la prima vedere: rezolvarea ecuației 7√2/√22=5x/√165. Nu vă faceți griji, vom aborda această problemă pas cu pas, astfel încât să o înțelegeți perfect. Vom explora raționalizarea numitorilor unei fracții și vom aplica cunoștințele noastre pentru a găsi valoarea lui x. Sunteți gata să ne scufundăm în lumea fascinantă a matematicii? Haideți să începem!

Pașii Inițiali și Raționalizarea Numitorilor

Primul pas în rezolvarea acestei ecuații este să înțelegem ce înseamnă raționalizarea numitorilor. Practic, vrem să eliminăm radicalii (rădăcinile pătrate) din numitorii fracțiilor. De ce facem asta? Pentru că, de obicei, este mai ușor să lucrăm cu numitori fără radicali. Să începem cu prima fracție, 7√2/√22. Pentru a raționaliza numitorul, vom înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu √22. De ce √22? Pentru că, atunci când înmulțim √22 cu √22, obținem 22, care este un număr rațional (fără radical).

Deci, avem: (7√2 / √22) * (√22 / √22) = (7√2 * √22) / (√22 * √22) = (7√(222)) / 22 = (7√44) / 22. Simplificând √44, obținem √(411) = 2√11. Astfel, fracția devine (7 * 2√11) / 22 = (14√11) / 22. Putem simplifica și mai mult această fracție, împărțind atât numărătorul, cât și numitorul prin 2, obținând (7√11) / 11.

Acum, să trecem la a doua parte a ecuației, 5x/√165. Vom face același lucru: vom raționaliza numitorul. Înseamnă să înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu √165. Deci, avem: (5x / √165) * (√165 / √165) = (5x * √165) / 165. Putem simplifica această fracție, împărțind numărătorul și numitorul la 5, obținând (x√165) / 33.

Acum, ecuația noastră arată mult mai bine și suntem pregătiți pentru următorul pas! Tot acest proces de raționalizare este crucial pentru a manipula mai ușor ecuațiile și pentru a evita calculele complicate cu radicali în numitori. Raționalizarea numitorilor unei fracții nu este doar o tehnică, ci o unealtă care ne ajută să vedem mai clar structura ecuațiilor matematice.

Simplificarea și Izolarea Variabilei

Acum că am raționalizat numitorii, vom rearanja ecuația noastră originală. Am obținut (7√11) / 11 = (x√165) / 33. Scopul nostru este să izolăm variabila x. Pentru a face asta, vom înmulți ambele părți ale ecuației cu 33, pentru a scăpa de numitorul din partea dreaptă. Astfel, avem: ((7√11) / 11) * 33 = x√165. Simplificând, obținem (7√11) * 3 = x√165, adică 21√11 = x√165.

Următorul pas este să izolăm x. Pentru asta, vom împărți ambele părți ale ecuației la √165. Deci, avem: x = (21√11) / √165. Acum, putem simplifica această fracție. Observăm că 165 = 15 * 11. Deci, putem rescrie √165 ca √(15 * 11) = √15 * √11. Astfel, ecuația devine: x = (21√11) / (√15 * √11). Observăm că √11 se simplifică, și rămânem cu: x = 21 / √15.

Dar, stai! Nu am terminat încă. Putem raționaliza din nou numitorul. Înmulțim numărătorul și numitorul cu √15: x = (21 / √15) * (√15 / √15) = (21√15) / 15. Acum, putem simplifica fracția, împărțind numărătorul și numitorul la 3: x = (7√15) / 5. Și iată! Am izolat variabila x și am obținut soluția ecuației originale.

Acest proces ilustrează importanța simplificării și a izolării variabilei. Prin urmarea atentă a pașilor și prin utilizarea corectă a regulilor de matematică, putem rezolva chiar și cele mai complexe ecuații.

Verificarea Soluției și Concluzii

Verificarea soluției este un pas important. Pentru a ne asigura că rezultatul nostru este corect, vom înlocui valoarea lui x găsită în ecuația originală. Deci, vom înlocui x cu (7√15) / 5 în ecuația originală 7√2/√22=5x/√165.

Înlocuind, obținem: 7√2/√22 = 5 * (7√15) / 5 / √165. Simplificăm: 7√2/√22 = 7√15 / √165. Acum, să verificăm dacă această egalitate este adevărată. Să simplificăm fiecare parte a ecuației. Am văzut deja că 7√2/√22 simplifică la (7√11) / 11. Pe de altă parte, 7√15 / √165 = 7√15 / √(11 * 15) = 7√15 / (√11 * √15) = 7 / √11. Raționalizând numitorul, obținem (7√11) / 11. Deci, ambele părți ale ecuației simplificate sunt egale!

Prin urmare, soluția noastră x = (7√15) / 5 este corectă! Felicitări, am rezolvat cu succes această problemă! Am parcurs pașii necesari, de la raționalizarea numitorilor până la simplificarea ecuației și verificarea soluției. Am demonstrat că, cu puțină practică și înțelegere, orice problemă de matematică poate fi abordată și rezolvată.

În concluzie, rezolvarea ecuațiilor matematice necesită răbdare, atenție și o înțelegere solidă a conceptelor de bază. Raționalizarea numitorilor, simplificarea fracțiilor și izolarea variabilelor sunt instrumente esențiale în acest proces. Nu uitați, practica duce la perfecțiune! Continuați să exersați și veți deveni din ce în ce mai buni la rezolvarea problemelor de matematică. Sper că acest ghid v-a fost de ajutor. Dacă aveți întrebări, nu ezitați să le puneți. Mult succes în continuare! Acum, puteți aborda cu încredere orice problemă similară. Succes! Efortul depus în studiul matematicii merită din plin!